一、首先是双曲线标准方程的推导。
设动点M（x,y），左右焦点坐标分别为F1(-c,0)，F2(c,0)。
根据定义M F1和M F2距离之差的绝对值等于定值2a。
所以：
此时，令
就可以得到标准方程：
同样的办法，也可以把焦点在Y轴的方程推导出来：
这种标准方程的推导过程必须熟练掌握才行。
此处的考点一般会出现在下面这种非标准式的方程，让你判断是否是双曲线，以及如何求这个双曲线的渐近线。
二、双曲线的几何性质
1、渐近线以及渐近线特征三角形
渐近线我们谈了很多，所以此处不再赘述，但渐近线特征三角形，却是必须要着重强调的。渐近线特征三角形有两个，如下图：
图中，第一个渐近线特征三角形是直角三角形OAB，在这个三角形中，OA=a，AB=b，OB=c。
这三个数据显而易见，所以一般不会出问题。
另外一个特征三角形是我们过右焦点向渐近线作垂线做出来的三角形ODF2，在这个直角三角形中，因为：
所以，只能是
上述两个渐近线特征三角形的数据在选择和填空题中是常见的考点。
2、第二个常见的知识点是焦点三角形。如图：
我们把双曲线上一点M和左右两个焦点连接成一个三角形，这个三角形就成为双曲线的焦点三角形。
因为点M是运动的，从双曲线出发的两条直线的夹角也是不断变化的，我们现在关注的是这个三角形的面积会怎样变化。
在三角形中，使用余弦定理，我们可以得到
将这个数值带入上面的面积公式，我们可以得到：
也就是说，这个三角形的面积和两条边的张角和双曲线虚轴的长度有关。
这个推导过程实际上是采用解三角形的办法完成的，它的结论和椭圆焦点三角形的结论类似。